구조역학

모멘트분배법 — 강성이 큰 놈이 힘을 가져간다

2026년 9월 2일

부정정 구조는 평형만으로 안 풀립니다. 손으로 풀려면 변형 적합조건을 세워야 하는데, 차수가 올라가면 연립방정식이 감당이 안 됩니다.

모멘트분배법은 그 연립방정식을 반복 계산으로 바꾼 고전입니다. 그리고 이 방법이 지금도 가치 있는 이유는 계산 자체가 아니라, 계산 과정에 박혀 있는 원리 하나 때문입니다.

힘은 강성에 비례해 분배된다.

세 가지 부품

① 고정단모멘트 (FEM)

모든 절점을 일단 붙잡아 고정했다고 치고, 각 부재가 하중 때문에 단부에 만드는 모멘트입니다.

등분포 w, 양단고정      FEM = wL²/12  (양단)
집중 P 중앙, 양단고정    FEM = PL/8   (양단)
등분포 w, 일단고정-일단힌지  고정단 FEM = wL²/8

부정정 편의 양단고정보 값이 그대로 출발점이 됩니다.

② 분배율 — 이 방법의 심장

절점을 놓아주면 붙잡혀 있던 불균형 모멘트가 풀립니다. 절점에 모인 부재들이 이것을 나눠 갖는데, 회전각이 같아야 하므로(한 절점이니까) 각자의 회전강성에 비례해 가져갑니다.

부재 회전강성  K = 4EI/L   (원단 고정)
              K = 3EI/L   (원단 힌지)

분배율  DF = K / ΣK

③ 전달률

한쪽 단을 돌리면 반대쪽 고정단에도 모멘트가 생깁니다. 그 비율이 전달률이고, 원단이 고정이면 1/2입니다.

분배한 모멘트의 절반이 이웃 절점으로 넘어간다
→ 이웃 절점이 다시 불균형 → 다시 분배 → …
→ 값이 급격히 작아지며 수렴

손으로 풀어봅니다

   A ▓━━━━━━━━━ B ━━━━━━━━━▲ C
      경간 AB: L=8m, w=30kN/m     경간 BC: L=6m, 무재하
      A 고정단, C 힌지, EI 동일

분배율 (절점 B)

K_BA = 4EI/8 = 0.500 EI
K_BC = 3EI/6 = 0.500 EI    (C가 힌지 → 3EI/L)

DF_BA = 0.5,  DF_BC = 0.5

고정단모멘트

FEM_AB = −wL²/12 = −160 kN·m     FEM_BA = +160 kN·m
FEM_BC = FEM_CB = 0

분배와 전달

절점 B의 불균형 = +160
  분배: BA에 −80, BC에 −80
  전달: A로 −80×(1/2) = −40      (C는 힌지, 전달 없음)

절점 B가 다시 균형 → 끝. (이 예제는 1회에 수렴)

최종:
  M_AB = −160 − 40 = −200 kN·m
  M_BA = +160 − 80 = +80  →  M_B = 80 kN·m (지점 부모멘트)
  M_CB = 0

검산: AB 경간을 단순보+단부모멘트로 보면 중앙 정모멘트는

M중앙 ≈ wL²/8 − (200+80)/2 = 240 − 140 = 100 kN·m

정모멘트 100, 지점 200과 80 — 부정정 편의 “총량을 나눠 갖는다”가 손끝에서 재현됩니다. 절점이 여러 개면 분배→전달→다시 분배를 몇 바퀴 돌고, 보통 2~3회전이면 1% 이내로 수렴합니다.

이 방법이 진짜 가르치는 것

계산법은 프로그램이 대체했습니다. 남은 것은 원리이고, 그 원리는 구조 전체를 관통합니다.

"힘은 강성에 비례해 분배된다"

· [전단벽]이 지진력을 다 가져가는 이유
  — 벽 강성이 기둥의 307배였으므로 DF ≈ 0.997
· [흙막이] 스트럿 축력이 설계와 다른 이유
  — 지반·벽·스트럿의 상대강성이 실물과 다르면 분배가 달라짐
· 단주 효과 — 짧아진 기둥은 강성 급증 → 전단을 끌어감
· 균열의 재분배 — 균열난 부재는 강성이 줄어 힘을 이웃에 넘김
  ([비틀림]의 적합비틀림 감소가 이것)

그리고 분배율 감각은 모델링 오류 탐지기입니다.

절점 강성비가 9:1인데 해석 결과 모멘트가 5:5로 나온다?
  → 어딘가 절점 연결·단부 조건이 잘못 입력됐다

K = 4EI/L 한 줄에서 나오는 실무 직관들:

· 강성은 L에 반비례 — 짧은 부재가 힘을 가져간다
· I는 h³ — 춤 큰 부재가 압도한다
· 원단이 힌지면 강성이 3/4로 — 단부 조건 하나가 분배를 바꾼다

세 번째가 미묘하게 중요합니다. 기초를 고정으로 넣느냐 힌지로 넣느냐, 접합부를 강접으로 보느냐 반강접으로 보느냐가 분배율을 통해 부재력 전체를 바꿉니다. 부정정 편에서 “경계조건이 부정정 해석의 절반”이라 한 것의 정량적 실체입니다.

실무에서 자주 틀리는 지점

원단 힌지 부재에 4EI/L을 쓰는 경우

3EI/L입니다. 예제에서 이 차이를 무시하면 분배율이 0.5:0.5에서 0.57:0.43으로 바뀌어 지점 모멘트가 달라집니다. 프로그램 모델링에서 단부 릴리스를 빼먹는 실수의 손계산 버전입니다.

부호 규약을 중간에 바꾸는 경우

분배법은 시계방향(+) 같은 절점 기준 부호로 진행하다가, 설계용 모멘트도(인장측 기준)로 옮길 때 변환합니다. 이 전환에서 부호가 꼬이면 상부근·하부근이 뒤바뀝니다.

캔틸레버를 분배에 넣는 경우

캔틸레버는 정정이라 회전을 구속하지 못합니다. 강성 0으로 취급하고, 캔틸레버 모멘트는 고정값으로 절점에 얹기만 합니다.

프로그램 결과를 강성 감각 없이 받는 경우

지점 모멘트와 경간 모멘트의 비, 강한 부재와 약한 부재의 분담비가 강성비와 안 맞으면 모델 오류를 의심해야 합니다. 분배법은 그 “안 맞음”을 알아보는 눈입니다.

처짐(측방변위)이 있는 골조에 그대로 쓰는 경우

기본 분배법은 절점 이동이 없다는 가정입니다. 횡하중을 받는 라멘은 층 이동을 별도로 다루는 확장(모멘트분배+층방정식)이 필요하고, 손으로는 급격히 번거로워집니다 — 매트릭스 해석이 표준이 된 지점입니다.

자주 묻는 질문

왜 하필 4EI/L인가요?

일단 고정보의 한쪽 단을 단위 회전시키는 데 필요한 모멘트가 4EI/L이고, 그때 반대편에 2EI/L이 생깁니다(전달률 1/2의 출처). 처짐곡선 미분방정식에서 나오는 값으로, 기울기처짐법의 계수이기도 합니다.

수렴은 보장되나요?

전달될 때마다 절반으로 줄고 분배에서 또 나뉘므로, 통상 구조에서는 기하급수적으로 수렴합니다. 2~3회전이면 실무 정밀도에 충분합니다.

기울기처짐법·매트릭스법과의 관계는?

셋 다 변위법(강성법) 가족입니다. 기울기처짐법은 방정식을 직접 세우고, 분배법은 그것을 반복으로 풀고, 매트릭스법은 컴퓨터용으로 일반화한 것입니다. 오늘날 프로그램의 내부가 매트릭스 강성법이므로, 분배법을 이해하면 프로그램이 뭘 하는지 아는 셈입니다.

시험(기술사)에서는 어디까지 나오나요?

2~3절점 연속보·단순 라멘의 분배 계산, 분배율·전달률의 근거, 그리고 원리 서술(강성 비례 분배)이 단골입니다. 답안 작성의 틀로 보면 “정의–식–계산 예–유의점”이 그대로 적용되는 주제입니다.

접합부가 반강접이면 어떻게 되나요?

회전 스프링이 끼어든 만큼 유효 강성이 내려가 분배율이 바뀝니다. 강접 가정보다 경간 모멘트가 커지는 방향이라, 접합부 강성 평가가 부재 설계에 직결됩니다. 강구조 접합(고장력볼트·용접)의 분류가 해석 가정과 연결되는 지점입니다.

정리

• 부품 셋: 고정단모멘트, 분배율 DF = K/ΣK, 전달률 1/2.
• 강성은 4EI/L(원단 고정), 3EI/L(원단 힌지). 단부 조건 하나가 분배를 바꿉니다.
• 예제: 불균형 160을 반씩 나누고 절반을 전달 — 지점 모멘트 80, 고정단 200, 검산까지 손으로 끝납니다.
• 남는 원리는 하나입니다. 힘은 강성에 비례해 분배된다 — 전단벽·단주·균열 재분배가 전부 이 문장입니다.
• 분배율 감각은 해석 프로그램의 오류 탐지기입니다. 강성비와 결과가 안 맞으면 모델을 의심하세요.
• 절점 이동이 있으면(횡하중 라멘) 기본 분배법의 영역 밖 — 매트릭스 해석이 표준이 된 이유입니다.

부정정의 원리는 부정정 구조, 활하중 배치는 영향선, 강성 분배의 극단 사례는 전단벽, 시험 답안 틀은 토목구조기술사 답안 작성법에 정리해 두었습니다.

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