강구조

단면계수와 소성단면계수, 뭐가 다른가

단면 성능 계산기가 내놓는 Z는 탄성단면계수입니다. 그런데 강구조 설계에서는 Zp라는 값이 따로 나옵니다. 둘은 같은 단면의 값인데도 10~70%까지 차이가 납니다.

이 글에서는 그 차이가 어디서 오는지, 그리고 왜 H형강에서 강축과 약축의 차이가 그렇게 큰지 정리합니다.

탄성단면계수 Z

Z = I / c

I : 단면2차모멘트
c : 중립축에서 최외단까지의 거리

단면 맨 바깥이 항복하는 순간의 저항 능력입니다. 이때 단면 내부는 아직 탄성이고, 응력 분포는 중립축에서 최외단까지 직선으로 변합니다.

응력 분포 (탄성)

  최외단  ████  ← Fy 도달
          ███
  중립축  ─────  0
          ███
  최외단  ████  ← Fy 도달

이 상태의 모멘트가 항복모멘트 M_y = Z · F_y입니다.

소성단면계수 Zp

최외단이 항복해도 부재가 곧바로 무너지지는 않습니다. 항복 영역이 안쪽으로 번지면서 하중을 더 받습니다. 단면 전체가 항복하면 그때 소성힌지가 생깁니다.

응력 분포 (완전 소성)

  최외단  ████  ← Fy
          ████  ← Fy
  중립축  ────
          ████  ← Fy
  최외단  ████  ← Fy

이때의 저항 능력이 소성단면계수입니다.

Z_p = Σ A_i · y_i

소성중립축을 기준으로 상하 단면적의
1차 모멘트를 더한 값

탄성에서는 최외단만 Fy에 도달하는데, 소성에서는 전 단면이 Fy입니다. 그만큼 여력이 더 있습니다.

형상계수

두 값의 비를 형상계수라고 합니다.

f = Z_p / Z

이름 그대로 단면 형상에만 좌우됩니다. 강종이나 크기와는 무관합니다.

단면 형상계수
사각형 1.500
원형 1.698
H형강 (강축) 1.10 ~ 1.12
H형강 (약축) 약 1.51 ~ 1.53

사각형이 1.5인 이유는 간단합니다.

Z  = B·H² / 6
Zp = B·H² / 4
f  = (1/4) ÷ (1/6) = 1.5

H형강은 왜 강축과 약축이 다른가

여기가 이 글의 핵심입니다. 실제로 계산해 보겠습니다.

단면 Zx Zpx fx Zy Zpy fy
H-400×200×8×13 1,148 1,286 1.120 173.5 266.0 1.533
H-300×300×10×15 1,329 1,465 1.102 450.1 681.8 1.514
H-200×200×8×12 461 513 1.113 160.1 242.8 1.517

단위는 cm³입니다.

강축은 1.10 근처, 약축은 1.51 근처로 확연히 갈립니다. 약축 값이 사각형(1.5)과 거의 같다는 점이 힌트입니다.

이유는 재료가 어디에 있는지입니다.

  • 강축으로 휠 때: 재료 대부분이 이미 플랜지, 즉 최외단 근처에 몰려 있습니다. 탄성 상태에서 이미 거의 전부가 Fy 가까이 있어서, 완전 소성이 되어도 더 얻을 게 별로 없습니다.
  • 약축으로 휠 때: 플랜지가 폭 방향으로 넓게 퍼진 두 장의 판처럼 거동합니다. 사각형과 같은 상황이므로 형상계수도 1.5에 수렴합니다.

형상계수가 크다는 건 “탄성 설계가 보수적”이라는 뜻이지, 단면이 좋다는 뜻이 아닙니다. H형강 강축의 형상계수가 낮은 건 오히려 재료 배치가 이미 효율적이라는 증거입니다.

휨내력으로 보면

H-400×200×8×13, SM355(F_y = 355MPa) 기준

항복모멘트  M_y = Z · F_y  = 1,148cm³ × 355 = 407.6 kN·m
소성모멘트  M_p = Zp · F_y = 1,286cm³ × 355 = 456.5 kN·m

증가          +12.0%

같은 부재에서 12%의 여력을 더 쓸 수 있습니다. 소성설계가 경제적인 이유입니다.

어디에 쓰나

설계법 쓰는 값 개념
허용응력설계 (ASD) Z 최외단 응력이 허용치 이내
한계상태설계 (LSD/LRFD) Zp 소성모멘트에 저항계수 적용

국내 KDS 강구조 기준은 한계상태설계를 기본으로 하므로 실무에서는 Zp를 씁니다.

다만 조건이 있습니다

소성모멘트를 온전히 쓰려면 단면이 먼저 국부좌굴하지 않아야 합니다. 플랜지나 웨브가 얇으면 전 단면이 항복하기 전에 판이 접혀 버립니다. 그래서 판폭두께비로 단면을 등급 구분하고, 조밀단면일 때만 Mp를 전부 인정합니다.

횡좌굴도 마찬가지입니다. 횡지지가 부족하면 소성모멘트에 도달하기 전에 옆으로 넘어갑니다. 관련 개념은 세장비와 좌굴에 정리해 두었습니다.

실무에서 자주 틀리는 지점

계산기의 Z를 소성설계에 그대로 넣는 경우

단면 성능 계산기가 주는 Z는 탄성값입니다. 한계상태설계에 쓰려면 Zp를 따로 구해야 합니다. 강축 기준으로 약 10% 차이라 검토를 통과시켜 버릴 수도 있습니다.

형상계수를 아무 단면에나 1.1로 쓰는 경우

약축은 1.5 수준입니다. 약축 휨을 받는 부재에서 1.1을 쓰면 40% 가까이 과소평가합니다.

조밀단면 여부를 확인하지 않는 경우

판이 얇으면 소성모멘트에 도달하기 전에 국부좌굴합니다. Zp를 썼다면 판폭두께비 검토가 함께 있어야 합니다.

Z와 I를 혼동하는 경우

Z = I / c입니다. 처짐은 I, 휨응력은 Z입니다. 자세한 구분은 H형강 규격표 보는 법에 정리했습니다.

자주 묻는 질문

형상계수는 크기에 따라 달라지나요?

달라지지 않습니다. 형상에만 좌우됩니다. 사각형은 100mm든 1,000mm든 1.5입니다. H형강은 플랜지와 웨브의 비율에 따라 조금씩 다르지만 강축 1.10~1.12 범위에 대체로 들어옵니다.

소성단면계수의 중립축은 도심과 같나요?

대칭 단면이면 같습니다. 비대칭 단면(상하 플랜지가 다른 경우)에서는 다릅니다. 소성중립축은 상하 단면적이 같아지는 위치이고, 탄성 도심은 면적 1차 모멘트가 0인 위치입니다.

콘크리트 단면에도 형상계수를 쓰나요?

쓰지 않습니다. 콘크리트는 인장에 저항하지 못해 응력 분포가 강재와 전혀 다릅니다. RC 휨 설계는 등가응력블록으로 별도 처리합니다.

Z와 S 중 어느 표기가 맞나요?

둘 다 씁니다. 국내 자료는 탄성단면계수를 Z, 소성을 Zp로 쓰는 경우가 많고, 미국 기준 (AISC)은 탄성을 S, 소성을 Z로 씁니다. AISC의 Z는 소성값이므로 해외 자료를 볼 때 주의하세요.

정리

  • Z는 최외단만 항복한 상태, Zp는 전 단면이 항복한 상태의 값입니다.
  • 형상계수 f = Zp/Z는 형상에만 좌우됩니다. 크기·강종과 무관합니다.
  • H형강 강축 1.10, 약축 1.51. 약축은 사각형과 거의 같습니다.
  • 강축 형상계수가 낮은 건 단점이 아니라 재료 배치가 이미 효율적이라는 뜻입니다.
  • 한계상태설계는 Zp를 쓰지만, 조밀단면과 횡지지 조건을 함께 확인해야 합니다.
  • AISC의 Z는 소성단면계수입니다. 해외 자료 인용 시 주의하세요.

탄성 단면 성능은 단면 성능 계산기에서 바로 구할 수 있고, 단면 선정 기준은 H형강 규격표 보는 법에, 좌굴 검토는 세장비와 좌굴에 정리해 두었습니다.